DQ변환. 그래 공식은 알겠는데 이게 무슨 의미야? + clarke 변환

주의!!) 이번 글은 이해하기 위해서 간단한 선형대수학(좌표변환 행렬)과 전기기기(유도기, 동기기)에 대한 선행지식이 필요합니다.

핵심요약은 가장 밑에 있습니다.https://www.youtube.com/watch?v=vdeVVTltr1M

 

전기공학에서 DQ 변환은 4학년 이후의 전기기기, 전력전자, 전력계통에서는 자주 보게 되는 개념이에요.

저는 전기기기 설계가 전공이라서 학부연구생을 시작할 때, 머리를 쥐어 싸고 쳐다봤었죠.

그런데도 제대로 그 의미를 이해하는데는 1년 넘게 걸린 것 같아요.

 

DQ 변환에 대해서 설명하는 아주 좋은 책들은

1. 전기기기 제어론 - 설승기 교수님

2. 고급전력전자공학 - 이교범 교수님

3. DC AC BLDC  모터 제어 - 김상훈 교수님

등이 있어요. 

 

아주 좋은 책들이고 공식은 자세히 알려주시지만

그래서 그게 어떤 효과가 있고 무슨 의미인지에 대한 Insight를 얻기에는 약간 부족했죠.

 

여기에 제가 이해한 Insight를 토대로 설명을 다시 드립니다.

 

1. DQ 변환의 목적

첫번째, 모든 공학적인 이론이나 기술은 어떤 문제를 해결하기 위한 것입니다.

무슨 문제가 있어서 뭘 해결하기 위해서 만들어졌는지를 알면 이론에 대한 맥락이 잡힙니다.

왜 배우는지, 어떻게 써먹는지에 대한 감이 오기 때문이죠.

<전국의 발전기에서 발생된 전압은 동기화 되어야 한다>

DQ 변환은 미국의 GE에서 개발되었습니다.

전국에서 돌아가는 3상 발전기에서 얻어진 3상 전압의 주파수, 위상, 크기 등을 동기화 해야하는데,

제어를 위해 식을 세워보니 기계시스템과 전기시스템이 결합된 비선형 상미분 3차 연립방정식이 되어버린거죠.

제어를 할려면 이걸 적절하게 풀어내야 하는데, 풀 수가 없는 거에요.

심지어 제어해야하는 목표전압 값도 AC 값이었어요.

제어 대상이 AC면 아래 그래프처럼 Undamped 신호라서 '제어 공학' 또는 '신호 및 시스템'에서 배운

2차 전달함수의 기본이론도 못 써먹죠. 자연 주파수와 댐핑 비도 의미가 없어집니다.

 

 

<2차 전달함수 응답 그래프>

그래서 비선형을 최대한 선형화 하고 AC값을 DC화 할 수 있으면 좋겠다 라고 생각했어요.

그래서 DQ변환의 목표는 '선형화'와 'DC화'입니다.

 

2. DQ 변환은 한번에 이루어지지 않는다.

 

DQ변환이라고만 했지만 사실 DQ 변환은 2단계로 이루어집니다.

 

첫 단계는 '120도 간격의 위상차를 가지는 abc상'을 '90도 간격의 Alpha, Beta상'으로 바꿔주는 Clarke 변환.

왜 이렇게 바꿔주냐면 120도 간격으로 3개의 축을 가지는 것보다는 90도로 직교하는 2개의 축을 가지고 계산하는 것이 편하기 때문이에요. 서로 독립적이어서 계산하기가 편하거든요.

<abc상에서 Alpha, Beta 상으로의 변환>

위의 화살표는 페이저(Phasor)가 아닙니다. 공간 벡터(State vector)라고 합니다.

3상 2극 모터의 각 abc상 권선이 놓여져있는 위치를 나타내는 것이라고 보면 됩니다.

 

3상 모터는 공간적으로 120도 간격으로 놓여져 있는 각각의 권선(=코일)에 시간적으로 120도 간격을 가진 3상 전류를 넣어주는 거거든요. 그 중에서 저 그림은 공간적인 분포만 의미하는 거에요.

 

이제 여기에 시간적으로 120도 간격인 3상 전류를 넣어주면, 아래 유튜브 동영상 처럼 번갈아가면서 벡터가 커지고 작아지고를 반복합니다.

 

이해를 위해서 아래 동영상을 한번 봐주세요.

5분 15초부터 보세요.

 

변환하는 방법은 아래 행렬을 계산하면 됩니다.

<Clarke 변환 행렬식>

이 행렬 곱셈이 의미하는 바는  abc상의 전류값의 벡터들을 alpha축과 beta축에 각각 투영해서 더하는 것입니다.

각 abc상이 alpha축 beta축에 기여하는 값이 얼만지를 하나하나 계산해서 더합니다.

그러면 Alpha, Beta 평면 상에서의 벡터 크기와 위치가 어디인지를 알 수 있죠.

 

a상이 Alpha에 기여하는 값: a상과 Alpha축은 완전히 같은 방향에 놓여있죠? 그래서 Cos(0)=1을 곱합니다.

                                    그래서 a상의 값은 그대로 Alpha축에 반영되요. 기하학적으로 표현하면 투영되는거죠.

b상이 Alpha에 기여하는 값: b상은 Alpha축에서 120도만큼 반시계로 회전한 위치에 있으니 현재 b상 전류(또는 전압)

                                    값의 Cos(120) = -1/2를 곱하면 되요.

c상이 Alpha에 기여하는 값: c상은 Alpha축에서 240도만큼 반시계로 회전한 위치에 있으니 현재 c상 전류(또는 전압)

                                    값의 Cos(240) = -1/2를 곱하면 되요. b상과 똑같죠.

 

a상이 Beta에 기여하는 값: a상과 Beta축은 직교 방향에 놓여있죠? 그래서 Sin(0)=0을 곱합니다.

                                  그래서 a상의 값은 Beta축에 기여하는 것이 전혀 없어요. a상을 Beta축에 투영하는 거죠.

b상이 Beta에 기여하는 값: b상은 Alpha축에서 120도만큼 반시계로 회전한 위치에 있으니 현재 b상 전류(또는 전압)

                                  값의 Sin(120) = sqrt(3)/2를 곱하면 되요.

c상이 Beta에 기여하는 값: c상은 Alpha축에서 240도만큼 반시계로 회전한 위치에 있으니 현재 c상 전류(또는 전압)

                                  값의 Sin(240) = -sqrt(3)/2를 곱하면 되요. b상과는 부호만 다르죠.

 

영상 아니에요. 이미지에요. 파초빨 abc상 자기장 벡터들이 합쳐져서 하늘색 자기장 벡터 하나가 되요.

맨 앞에 2/3이 곱해지는 것은 3상을 2상으로 바꾸면서 Scale을 맞춰주기 위함이에요.

이렇게 해두면 한 상당 전류가 12Arms일 때,  Alpha,Beta 평면 또는 DQ 평면에서의 전류벡터 크기도

(= Sqrt(d^2+q^2) 로 구해지는 전류)도 12Arms로 동일해지거든요.

예를 들어, Q축 전류가 10Arms이고 D축전류가 5Arms이면 좌표변환하기 전의

현재 흐르는 상전류 값은 Sqrt(100+25) = 11.18Arms인거죠.

<위 그래프는 3상 전류, 아래 그래프는 변환된 2상 전류. 아직은 여전히 교류값이다.>

자 이렇게 각 3상 전류에서 나오는 3개의 벡터를 직교 평면상의 1개의 벡터로 변환을 했죠?

Alpha 값이 x축, Beta 값이 y축인 2차원 평면상의 2차원 벡터를 얻었습니다.

이제는 Alpha, Beta 전류를 얻어낸 겁니다. 하지만 아직 여전히 교류(AC)값이죠.

 

두번째 단계는 Alpha, Beta 전류를 DC값으로 바꿔주기 위해서

Direct, Quadrature축 줄여서 DQ축으로 변환하는 것이 필요합니다.

여기서 Direct 축의 의미는 보통은 전기기기에서 공극 자속밀도의 값이 최대가 되는 지점을 의미합니다.

이해가 잘 안되시죠?

 

오늘은 여기까지 하고 다음 포스팅에 더 쓸게요.

 

++ 반응이 좋아서 더 씁니다.

 

Alpha, Beta 전류가 여전히 교류일 수 밖에 없는 이유는 위의 그림처럼 우리가 아직 Alpha축과 Beta축에

고정해서 머물면서 벡터가 회전하는 걸 보고 있기 때문이에요.

 

어쩔 수 없이 하나의 전류벡터가 회전하면 그 벡터의 Alpha값은 Cos값으로 투영되니까 멀어졌다 가까워졌다 하겠죠.

Beta값도 Sin값으로 투영되어서 Beta 축에 위치한 눈에서 가까워졌다가 멀어졌다 하겠죠?

 

즉 고정좌표계에서 보고 있으면 Alpha전류도 Beta 전류도 아직 여전히 교류값입니다.

다음편도 있어요.

 

DQ변환은 두번 이루어진다. Park변환 편